Linjära partiella differentialekvationer, framförallt av 2:a ordningen och med huvudtyperna representerade av Laplaces ekvation, värmeledningsekvationen, vågekvationen och Schrödingerekvationen.
Variabelseparationsmetoden för lösning av randvärdesproblem för ekvationer av ovanstående slag. Anpassning av variabelsepationsmetoden till polära, sfäriska och cylinderkoordinater.
Sturm-Liouvilleproblem och ortogonala funktionssystem.
Speciella funktioner, speciellt Bessel- och Legendrefunktioner.
Potensseriemetoden för lösning av ordinära differentialekvationer.
Transformmetoder, särskilt Fourier- och Laplacetransformen.
Partiella differentialekvationer beskriver samband mellan kontinuerligt föränderliga storheter som beror på två eller flera variabler (t.ex. tiden och en eller flera rumskoordinater). En mycket stor del av fysiken och dess tillämpningar inom teknikvetenskaperna är baserad på beskrivning av verkligheten i termer av partiella differentialekvationer. Att tillägna sig grundläggande förståelse för de vanligast förekommande partiella differentialekvationerna, och att känna till några lösningsmetoder för dem, bör därför vara ett centralt inslag i civilingenjörsutbildningen, särskilt på sådana grenar som är inriktade mot grundläggande teknik- och naturvetenskaper.
Det huvudsakliga kursmålet är att studenten efter fullgjord kurs ska kunna lösa randvärdesproblem för Laplaces ekvation, värmeledningsekavationen, vågekvationen och Schrödingerekvationen med hjälp av variabelseparationsansats, i kartesiska, polära, sfäriska och cylinderkoordinater.
I detta ingår följande delmål:
- Att kunna lösa linjära ordinära differentialekvationer, med elementära metoder (karakteristiska rötter, ansats osv.) i fallet konstanta koefficienter, med hjälp av potensserieansats kring en reguljär eller singulär punkt i fallet analytiska koefficienter.
- Att kunna utveckla funktioner av en variabel i serier efter ortogonala funktionsklasser, exempelvis i Fourierserier, Besselserier, Legendreserier.
- Att allmänt kunna ta fram viktsfunktion, egenvärden och ortogonalt funktionssystem (egenfunktioner) till ett givet Sturm-Liouville problem.
- Att kunna använda Fourier- och Laplacetransformen som ett led i lösningen av ett randvärdesproblem.
- Att kunna använda handböcker (t.ex. BETA) som hjälpmedel vid lösande av problem av ovanstående slag.
