Grundläggande idéer och begrepp:vektor, matris, linjära ekvationssystem, Gausselimination, matrisfaktorisering, komplexitet, vektorgeometri med skalärprodukt och vektorprodukt, determinant, vektorrum, linjärt oberoende, bas, linjär avbildning, egenvärde, egenvektor, minsta kvadratmetoden, ortogonalitet, inre produktrum, Gram-Schmidts metod, komplexa tal, induktionsaxiomet, algebrans fundamentalsats.
Beräkningstekniska aspekter: Lösning av linjära ekvationssystem, Gausseliminering, LU-faktorisering, konditionstal, fulla och glesa matriser, komplexitet, minsta kvadratmetoden, beräkning av egenvärden och egenvektorer, grafisk illustrering av resultat.
Ett övergripande mål med kursen är att studenten ska utveckla en god förståelse för grundläggande matematiska begrepp inom algebra och geometri och kunna använda dessa för att matematiskt modellera ingenjörsvetenskapliga och naturvetenskapliga problem.
Studenten ska utveckla en färdighet i att, med hjälp av dator, illustrera centrala begrepp och lösa tillämpade problem med hjälp av färdiga funktioner ur programspråkets bibliotek. Dessutom ska studenten kunna visualisera och presentera resultaten på ett tydligt sätt.
Efter genomgången kurs ska studenten
- känna till och kunna använda centrala begrepp och metoder såsom: vektorrum, inre produktrum, underrum, linjärt beroende och oberoende, dimension, baser, normer, inre produkt, ortogonalitet, projektion, Gram-Schmidts metod,
- känna till och kunna använda centrala begrepp inom geometri i R3som: kryssprodukt, räta linjen, plan, normaler, ytor, volymer,
- känna till och kunna använda L2-norm och polynom som basfunktioner,
- känna till definitioner och begrepp för matriser såsom: rang, noll-rum, rad-rum, kolumn-rum,singularitet, normer, symmetri, ortogonalitet,
- kunna beräkna inversen analytiskt för små matriser samt med befintlig programvara för större matriser,
- kunna lösa linjära ekvationssystem analytisktmed Gausselimination och pivoteringför små system samt känna till och kunna använda befintlig programvara för större system,
- känna till olika typer av matrisfaktorisering samt kunna tillämpa LU-faktorisering,
- känna till begreppet konditionstal och förstå dess relevans samt beräkna detta med befintlig programvara,
- känna till komplexiteten för Gausselimination för fulla och glesa matriser,
- kunna beräkna egenvärden och egenvektorer analytiskt för små system och för större system använda befintlig programvara samt kunna redogöra för dess relevans och anknytning till fysikaliska exempel,
- kunna använda egenvärden och egenvektorer för att avgöra om en matris är diagonaliserbar,
- känna till och kunna använda spektralsatsen,
- kunna formulera minsta kvadratmetoden för att lösa överbestämda linjära ekvationssystem samt lösa mindre problem för hand och större problem med befintlig programvara. Dessutom kunna redogöra för viktiga begrepp som residual, ortogonalitet samt ge en geometrisk tolkning av en minsta kvadratlösning i lägre dimensioner,
- känna till och kunna räkna med komplexa tal samt dess polära form,
- kunna använda induktionsaxiomet för att kunna verifiera enkla samband,
- känna till och kunna använda algebrans fundamentalsats om samband mellan faktoriseringar av polynom och nollställen.
