IX1303 Algebra och geometri 2011

Föreläsning  Matriser

En matris

En matris

(({{11, 12, 13, 14}, {21, 22, 23, 24}, {31, 32, 33, 34}}))

Matrisen är uppbyggd av tre rader

matris1={
{11,12,13,14},
{21,22,23,24},
{31,32,33,34}
}

Element i matrisen

matris1[[1]]

matris1[[2,3]]

MatrixForm

Med matrixForm kan vi få en utskrift på matrisformat

matris1//MatrixForm

MatrixForm[matris1]

Print[MatrixForm[matris1]]

OBS! MatrixForm är bara ett utskriftsformat. Använd det inte för inmatning.

MatrixForm[matris1]//FullForm

matris1//FullForm

Dimension

Vad har matrisen för dimensioner?
	Tre rader  Fyra kolonner
	En 3 x 4-matris

Dimensions[matris1]

Matris multiplicerad med vektor  (A x)

Print["A " ,"x ","=", MatrixForm[matris1]MatrixForm[Transpose[{{a,b,c,d}}]],"="MatrixForm[matris1.Transpose[{{a,b,c,d}}]]]

Matris multiplicerad med vektor

matris1.{{a,b,c,d}}

??? Vad är felet

Print[MatrixForm[matris1],MatrixForm[{{a,b,c,d}}]]

Matriserna har fel format En 3 x 4-matris kan inte multipliceras med en 1 x 4-matris

Transponera

Formatet måste stämma vid matrismultiplikation

Print[MatrixForm[matris1],MatrixForm[Transpose[{{a,b,c,d}}]]]

Transpose[{{a,b,c,d}}]
MatrixForm[%]

matris1.Transpose[{{a,b,c,d}}]
MatrixForm[%]

Vi kan även transponera matrisen

matris1Trans=Transpose[matris1]
MatrixForm[%]

Multiplikationen som en linjärkombination av kolonnerna

Kvadratiska matriser.

MatrixForm[KvadratMatris=Table[(Subscript[A, n, m]),{n,1,5},{m,1,5}]]

Dimensions[KvadratMatris]

Enhetsmatris (Identity Matrix)

IdentityMatrix[5]
MatrixForm[%]

MatrixForm[KvadratMatris.IdentityMatrix[5]]

Matrismultiplikation

En skalärprodukt

Vid matrismultiplikation skalärmultiplicerar man rader med kolonner

(({{a, b}, {c, d}}))(({{x, y}, {z, w}})) = (({{a x+b z, b w+a y}, {c x+d z, d w+c y}}))

(({{11, 12, 13, 14}, {21, 22, 23, 24}, {31, 32, 33, 34}}))(({{a, f}, {b, g}, {c, h}, {d, j}}))=(({{11 a+12 b+13 c+14 d, 11 f+12 g+13 h+14 j}, {21 a+22 b+23 c+24 d, 21 f+22 g+23 h+24 j}, {31 a+32 b+33 c+34 d, 31 f+32 g+33 h+34 j}}))

Exempel

matris2={{1,2,7},{-1,2,3},{5,8,2}};
matris3={{1,2,7},{-1,2,3},{0,4,10}};
matris2.matris3
MatrixForm[%]

Fler exempel

xx=Transpose[{{x,y,z}}];
matris2.xx

matris3.xx

Två ekvationssystem som matrisekvationer A x = b

Unik lösning

Solve[matris2.xx==Transpose[{{1,2,3}}]]
Det[matris2]

Det[matris2]≠0

Många lösningar

Solve[matris3.xx==Transpose[{{1,2,3}}]]

Ingen lösning

Solve[matris3.xx==Transpose[{{1,5,0}}]]

Det[matris3]

matris3//MatrixForm

Matris-invers

Matris 2 - inverterbar

Inverse[matris2]
Det[matris2]

Matrisen är inverterbar
A x = b kan lösas med x=(A^(-1))b

Solve[matris2.xx==Transpose[{{1,2,3}}]]
Inverse[matris2].Transpose[{{1,2,3}}]

{{-(15/28)},{(79/112)},{(1/56)}}//MatrixForm

Matris 3 - singulär

Inverse[matris3]
Det[matris3]≠0