F8 - Kurvor på parameterform

KTH/ICT: IX1304, VT-2012
Göran Andersson, goeran@kth.se
120420

Mål

Att kunna redogöra för följande begrepp

Parameterform

Polära koordinater

att kunna

växla mellan parameterform och parameterfri form

bestämma derivata då kurvan är given på parameterform

bestämma tangen och normal för kurva på parameterform

beräkna båglängd för kurva på parameterform

bestämma rotationsvolym och area

bestämm innesluten area för sluten kurva

Innehåll

Teori

Adams chapter 8.2-8.5

Kod för kvadratkomplettering

The following code gives a simple method for completeing quadratic polynomials.

(* 
a simple method for sguare completion
Goeran Andersson, goeran@kth.se 
*)
BeginPackage["IX1304`"];
CompleteSquare::usage="CompleteSquare[p, x] completes the quadratic polynomial and CompleteSquare[p, {x1, x2, ...}] completes a multivariable quadratic polynomial.";
Begin["`Private`"];
CompleteSquare[q_List,x:Except[_List]]:=
Module[{a,b,c},
If[Exponent[Last[q],x]==2,{c,b,a}=CoefficientList[Last[q],x];
Join[Most[q],Simplify[{a (x+b/(2 a))^2,\[FormalC]-b^2/(4 a)}]]/.\[FormalC]->c,q]
];
CompleteSquare[q:Except[_List],x:Except[_List]]:=
If[Exponent[q,x]≠2,q,Plus@@CompleteSquare[{q},x]]/;PolynomialQ[q,x];
CompleteSquare[q:Except[_List],{x:Except[_List]}]:=CompleteSquare[q,x];
CompleteSquare[q:Except[_List],x:{Except[_List],Except[_List]..}]:=
Plus@@Fold[CompleteSquare,{q},Most[x]]/;quadraticFormQ[q,x];
CompleteSquare[q:Except[_List],x:{Except[_List],Except[_List]..}]:=
Plus@@Fold[CompleteSquare,{q},x]/;PolynomialQ[q,x];
CompleteSquare[q_,___]:=q;
quadraticFormQ[q_,x:{_Symbol..}|{_?(Head[Head[#1]]===Symbol&)..}]:=PolynomialQ[q,x]&&And@@Thread[Apply[Plus,First/@CoefficientRules[q,x],{1}]==2];
quadraticFormQ[_,_]:=False;
End[];
Protect[CompleteSquare];
EndPackage[];

Examples:

ClearAll["`*"]

?CompleteSquare

The following command completes a single variable polynomial:

CompleteSquare[(x^2)+3x+3,x]

By this we can see that the minimum value is 3/4. And here’s a general quadratic polynomial:

CompleteSquare[a (x^2)+b x+c,x]

Here’s a polynomial that has two variables:

CompleteSquare[(x^2)+(y^2)+4x+2y+6,{x,y}]

It he case of multi-variable polynomial the CompleteSquare is Folded. This means that the result might depend on the order of the given variables.

p=(x^2)+2(y^2)+4x+2x y+y+6;
CompleteSquare[p,{x,y}]

CompleteSquare[p,{y,x}]

We finish by a quadratic form with 3 variables

CompleteSquare[(x^2)-(y^2)-(z^2)+2 x y+4 y z,{x,y,z}]

CompleteSquare[(x^2)-(y^2)-(z^2)+2 x y+4 y z,{z,x,y}]

Parameterform

Adams (6^th) ed. ch. 8.2
Adams (7^th) ed. ch. 8.2

Teori

Vi har tidigare beskrivit kurvor planet som funktioner y=f(x). Denna beskrivning innefattar dock inte alla kurvor eftersom funktionen ett givet x-värde måste ha en entydig bildpunkt f(x).

En mer generell beskrivning av en kurva ℭ erhålls om vi låter både x och y vara funktioner x(t) respektive y(t) av en variabel t. Denna (gemensamma) variabel kallas parameter.

Vi kan t.ex. bestämma att

ℭ:({{{, ({{x(t)=(e^(cos(t)))}, {y(t)=(e^(sin(t)))}})}}), 0≤t≤2π

Denna beskrivning av kurvan kallas parameterform.

Då dessa funktioner ritas i ett xy-diagram genomlöper punkten (x(t),y(t)) kurvan ℭ då parametern löper från 0 till 2π. Observera att man kan tala om kurvans riktning i en punkt. Vi återkommer till detta.

Vår kurva kan även beskrivas med en ekvation. Eftersom

({{{, ({{ln(x(t))=cos(t)}, {ln(y(t))=sin(t)}})}})

och (cos^2)(t)+(sin^2)(t)=1 kan vi skriva

(((ln(x(t)))^2)+(((ln(y(t)))^2))=1

dvs.

ℭ:(ln^2)(x)+(ln^2)(y)=1

Denna ekvation beskriver kurvan ℭ på parameterfri form.

Exempel 1

Kurvan

(Sqrt[y])+(((x-1))^2)=1

(Sqrt[y])=1-(((x-1))^2)

Beskriver en begränsad kurva. Parametrisera denna kurva.

Lösning

Vi förutsätter att (Sqrt[y])≥0 så att

1-(((x-1))^2)≥0⇔(((x-1))^2)≤1⇔-1≤(x-1)≤1⇔0≤x≤2

Vi kan enkelt parametrisera kurvan genom att välja (t.ex.)

({{{, ({{x(t)=t}, {y(t)=(((1-(((t-1))^2)))^2)}})}}),0≤t≤2

Observera att flera parametriseringar är möjliga. Om vi istället väljer u=x-1 blir (Sqrt[y])=1-(u^2) och vi har

({{{, ({{x-1=u}, {(Sqrt[y])=1-(u^2)}})}})⇔({{{, ({{x=1+u}, {y=(((1-(u^2)))^2)}})}}),-1≤u≤1

Det kan kanske vara frestande att välja v=(((x-1))^2), men det resulterar i att 0≤v≤1 och x splittras i två delar x=1±(Sqrt[v]) vilket komplicerar modellen.

Mathematica

ClearAll["`*"]

x[t_]:=t

y[t_]=(((1-(((t-1))^2)))^2)

En (plan) kurva på parameterform plottas mer ParametricPlot.

Options[ParametricPlot,AspectRatio]

Options[Plot,AspectRatio]

c=ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2},AxesLabel->{"x","y"}]

p[t_]:=Graphics[{Red,PointSize[0.02],Point[{x[t],y[t]}]}]

Show[c,p[1]]

Manipulate[Show[c,p[t]],{t,0,2}]

Exempel 2

En kurva har parameterformen

({{{, ({{x=2-(Sqrt[3-(t^2)])}, {y=1+t}})}})

Bestäm kurvan på parameterfri form.

Lösning

Vi förutsätter att (x,y) är reella så att x∈[2-(Sqrt[3]),2] och t∈[-(Sqrt[3]),(Sqrt[3])]. Eftersom y=1+t gäller y∈[1-(Sqrt[3]),1+(Sqrt[3])]. Vi får

y=1+t⇔t=y-1

x=2-(Sqrt[3-(t^2)])⇔x=2-(Sqrt[3-(((y-1))^2)])⇔2-x=(Sqrt[3-(((y-1))^2)])

Kvadrering ger:

(((2-x))^2)=3-(((y-1))^2)⇔(((x-2))^2)+(((y-1))^2)=3

Detta är en cirkel med radien (Sqrt[3]) och centrum i punkten (2,1). Men vi vet att  att x∈[2-(Sqrt[3]),2] så kurvan utgör den vänstra halvcirkeln.

(((x-2))^2)+(((y-1))^2)=3, x≤2

Mathematica

ClearAll["`*"]

r[t_]:={2-(Sqrt[3-(t^2)]),1+t}

ParametricPlot[r[t],{t,-(Sqrt[3]),(Sqrt[3])},AxesOrigin->{0,0},AxesLabel->{"x","y"},Epilog->{Point[{2,1}]},PlotRange->{{0,3},All}]

curve=Eliminate[r[t]=={x,y},t]

Equal[-2+2 y-(y^2),-4 x+(x^2)]

curve[[1]]-curve[[2]]==0

VL=curve[[1]]-curve[[2]]

?CompleteSquare

curve=CompleteSquare[VL,{x,y}]==0

ContourPlot[Evaluate[curve],{x,0,2},{y,-1,3},PlotRange->{{0,4},All},FrameLabel->Automatic,GridLines->{Range[0,4,0.5],Range[-1,3,0.5]},Epilog->{PointSize[0.015],Darker[Blue],Point[{2,1}]}]

Derivata

Adams (6^th) ed. ch. 8.3
Adams (7^th) ed. ch. 8.3

Teori

Derivatan eller kvoten dy/dx är som bekant tangentens riktningskoefficient till en kurva.

((dy)/(dx))=((y'(t)dt)/(x'(t)dt))=((y'(t))/(x'(t)))

Vektorn (dx,dy) kan därmed tolkas som en infinitesmal riktningsvektor för tangenten.

(dx,dy)=(x'(t)dt,y'(t)dt)=(x'(t),y'(t))dt

Eftersom dt är den infinitesmala steglängden blir 𝕩'=(x'(t),y'(t)) tangentens riktningsvektor precis i punkten 𝕩=(x(t),y(t)).

Om parameterformen för kurvan ℭ är

ℭ:({{{, ({{x=x(t)}, {y=y(t)}})}})

kan tangenten i punkten (Subscript[𝕩, 0])=((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0]))=(x((Subscript[t, 0])),y((Subscript[t, 0]))) skrivas

𝔗:𝕩=(Subscript[𝕩, 0])+(Subscript[𝕩, 0]^′) Δt

𝔗:(x(t),y(t))=(x((Subscript[t, 0])),y((Subscript[t, 0])))+(t-(Subscript[t, 0]))(x'(t),y'(t))

𝔗:({{{, ({{x(t)=x((Subscript[t, 0]))+x'(t)(t-(Subscript[t, 0]))}, {y(t)=y((Subscript[t, 0]))+y'(t)(t-(Subscript[t, 0]))}})}})

Om punkten 𝕩=(x(t),y(t)) är positionen i ett plan blir vektorn 𝕩'=(x'(t),y'(t))  hastigheten och (Abs[𝕩']) farten. Vidare blir vektorn 𝕩'' accelerationen (som är parallell med kraften 𝔽=m 𝕩'').

I teoriavsnittet under sektionen parameterform ovan betraktades kurvan

ℭ:({{{, ({{x(t)=(e^(cos(t)))}, {y(t)=(e^(sin(t)))}})}}), 0≤t≤2π

Tangentens riktningsvektor (hastigheten) i en godtycklig punkt kan skrivas

𝕧(t)=(x'(t),y'(t))=(-sin(t)(e^(cos(t))),cos(t)(e^(sin(t))))

Nedanstående figur visar vektorn 𝕧(t).

Vektorn 𝕩'=(x'(t),y'(t)) är ju riktningsvektor för tangenten. Om vi bestämmer en vektor 𝕟 så att den är vinkelrät mot 𝕩' blir 𝕟 en riktningsvektor för normalen.

𝕟=(a,b)=>𝕟·𝕩'=0⇔(a,b)·(x'(t),y'(t))=0⇔a x'(t)+b y'(t)=0

Här finns många lösningar (a,b) så vi väljer en:

𝕟(t)=(-y'(t),x'(t))

Dvs. normalen i punkten (Subscript[𝕩, 0])=((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0]))=(x((Subscript[t, 0])),y((Subscript[t, 0]))) skrivas

𝔑:𝕩=(Subscript[𝕩, 0])+(Subscript[𝕟, 0]) Δt

𝔑:(x(t),y(t))=(x((Subscript[t, 0])),y((Subscript[t, 0])))+(t-(Subscript[t, 0]))(-y'((Subscript[t, 0])),x'((Subscript[t, 0])))

𝔑:({{{, ({{x(t)=x((Subscript[t, 0]))+-y'((Subscript[t, 0]))(t-(Subscript[t, 0]))}, {y(t)=y((Subscript[t, 0]))+x'((Subscript[t, 0]))(t-(Subscript[t, 0]))}})}})

Exempel 1

En kurva har parameterformen

ℭ:({{{, ({{x(t)=(t^2)-2t}, {y(t)=3t+1}})}})

Bestäm tangent och normal för t=2.

Lösning

För t=2 erhålls

(Subscript[𝕩, 0])=(x(2),y(2))=((2^2)-2·2,3·2+1)=(0,7)

Riktningsvektorn för tangenten är

𝕩'=(x'(t),y'(t))=(2t-2,3)

∴(Subscript[𝕩, 0]^′)=(x'(2),y'(2))=(2,3)

Tangentens ekvation 𝕩=(Subscript[𝕩, 0])+(Subscript[𝕩, 0]^′) Δt kan därmed skrivas:

𝔗:({{{, ({{x(t)=0+2 (t-2)}, {y(t)=7+3 (t-2)}})}})⇔({{{, ({{x(t)=2t-4}, {y(t)=3t+1}})}})

Normalens riktningsvektor blir:

𝕟=(-y'(t),x'(t))=(-3,2t-2)

∴(Subscript[𝕟, 0])=(-y'(2),x'(2))=(-3,2)

Normalens ekvation 𝕩=(Subscript[𝕩, 0])+(Subscript[𝕟, 0]) Δt kan därmed skrivas:

𝔑:({{{, ({{x(t)=0-3 (t-2)}, {y(t)=7+2 (t-2)}})}})⇔({{{, ({{x(t)=-3t+6}, {y(t)=2t+3}})}})

Mathematica

ClearAll["`*"]

t0=2;

{x[t_],y[t_]}={(t^2)-2t,3t+1}

𝕩[t_]:={x[t],y[t]}

𝕩'[t]

𝕟0={-y'[t0],x'[t0]}

𝕥[t_]=𝕩[t0]+𝕩'[t0](t-t0)//Expand

𝕟[t_]=𝕩[t0]+𝕟0(t-t0)//Expand

ParametricPlot[{𝕩[t],𝕥[t],𝕟[t]},{t,-5,5},AxesLabel->{"x","y"}]

Exempel 2

Ett cykelhjul har radien r. Antag att cykeln rullar med farten v. Beskriv den kurva som en punkt på hjulets periferi genomlöper. Beskriv även den fart som periferipunkten har.

Lösning

Vid tiden t har hjulets centrum förflyttats från (0,r) till punkten (v t,r), dvs. längden v t. Den röda punkten har rört sig samma längd, båglängden v t längs cirkeln. Eftersom båglängden s kan skrivas s=r θ då radien är konstant blir vinkeln

θ=((v t)/r)

Den röda punkten position i läge två kan beskrivas enligt

({{{, ({{x(t)=v t-r sin(θ)}, {y(t)=r-r cos(θ)}})}})⇔({{{, ({{x(t)=v t-r sin(((v t)/r))}, {y(t)=r-r cos(((v t)/r))}})}})⇔𝕩(t)=(v t-r sin(((v t)/r)),r-r cos(((v t)/r)))

Farten hos den röda punkten är beloppet av hastighetsvektorn 𝕩'(t)

𝕩'(t)=(x'(t),y'(t))=(v-r cos(((v t)/r))·(v/r),r sin(((v t)/r))·(v/r))=v (1-cos(((v t)/r)),sin(((v t)/r)))

∴(Abs[𝕩'(t)])=(Sqrt[𝕩'(t)·𝕩'(t)])=(Sqrt[(v^2)( (((1-cos(((v t)/r))))^2)+(sin^2)(((v t)/r))])=v (Sqrt[2-2 cos(((v t)/r))])

Låt oss införa r=0.5m och v=5m/s. Utseendet på 𝕩(t) blir under den första sekunden:

och farten som funktion av tiden beskrivs av

Observera att farten hos periferipunkten är 0 i vissa tidpunkter och 2v i andra tidpunkter.

Mathematica

ClearAll["`*"]

𝕩[t_]={v t-r Sin[((v t)/r)],r-r Cos[((v t)/r)]}

𝕩'[t]

vp[t_]=(Sqrt[𝕩'[t].𝕩'[t]])//Simplify

r=0.5;v=5;

ParametricPlot[𝕩[t],{t,0,1},AxesLabel->{"x","y"}]

Plot[vp[t],{t,0,1},AxesLabel->{"t","vp"}]

Båglängd och area

Adams (6^th) ed. ch. 8.4
Adams (7^th) ed. ch. 8.4

Teori

Om kurvan är given på parameterform kan vi skriva.

ds=(Sqrt[(((dx))^2)+(((dy))^2)])=(Sqrt[(((((dx)/(dt))dt))^2)+(((((dy)/(dt))dt))^2)])=(Sqrt[(((((dx)/(dt))))^2)+(((((dy)/(dt))))^2)])dt=(Sqrt[(((x'(t)))^2)+(((y'(t)))^2)])dt

ℒ=(∫_(Subscript[t, 0])^(Subscript[t, 1]))ds=(∫_(Subscript[t, 0])^(Subscript[t, 1]))(Sqrt[(((x'(t)))^2)+(((y'(t)))^2)])dt

Låt nu en en liten del ds av kurvan rotera runt x-axeln. Då genereras ett smalt cirkelband av ytan.

Eftersom radien i cirkeln är (Abs[y(t)]) blir arean av det smala bandet.

dA=2π (Abs[y(t)]) ds=2π (Abs[y(t)])(Sqrt[(((x'(t)))^2)+(((y'(t)))^2)])dt

Arean av hela ytan kan därmed skrivas:

A=2π(∫_(Subscript[t, 0])^(Subscript[t, 1])) (Abs[y(t)])(Sqrt[(((x'(t)))^2)+(((y'(t)))^2)])dt

Arean mellan funktion och x-axeln kan som bekant skrivas:

A=(∫_a^b)f(x)dx

Detta kan utnyttjas för att bestämma den inneslutna arean av en sluten kurva på parameterform:

Låt oss bestämma area under den röda kurvan och x-axeln. Låt kurvan vara (positivt) orienterad så att vi startar för t=(Subscript[t, 0]) och går mot t=(Subscript[t, 1]). Arean blir då

(Subscript[A, 1])=(∫_(Subscript[x, 0])^(Subscript[x, m]))y dx=(∫_(Subscript[t, 0])^(Subscript[t, m]))y(t)x'(t)dt

På motsvarande sätt blir arean under den blå kurvan

(Subscript[A, 2])=(∫_(Subscript[x, 0])^(Subscript[x, m]))y dx=-(∫_(Subscript[x, m])^(Subscript[x, 0]))y dx=-(∫_(Subscript[t, m])^(Subscript[t, 1]))y(t)x'(t)dt

Den inneslutna arean blir därmed

A=(Subscript[A, 2])-(Subscript[A, 1])=-(∫_(Subscript[t, m])^(Subscript[t, 1]))y(t)x'(t)dt-(∫_(Subscript[t, 0])^(Subscript[t, m]))y(t)x'(t)dt=-(∫_(Subscript[t, 0])^(Subscript[t, 1]))y(t)x'(t)dt

Dvs. area av en sluten positivt orienterad kurva (x(t),y(t)),(Subscript[t, 0])≤t≤(Subscript[t, 1]) blir:

A=-(∫_(Subscript[t, 0])^(Subscript[t, 1]))y(t)x'(t)dt

Med positivt orienterad kurva menas att den inneslutna arean alltid är till vänster om riktningsvektorn.

Exempel 1

Bestäm arean som innesluts av kurvan

ℭ:({{{, ({{x(t)=cos(t)}, {y(t)=(e^(-((2 t)/(5 π))))sin(t)}})}}), π≤t≤3π

Lösning

Vi börjar med att konstatera att kurvan börjar och slutar i samma punkt.

({{{, ({{(x(π),y(π))=(cos(π),(e^(-((2 π)/(5 π))))sin(π))=(-1,0)}, {(x(3π),y(3π))=(cos(3π),(e^(-((6 π)/(5 π))))sin(3π))=(-1,0)}})}})

Eftersom intervallets längd sammanfaller med perioden för cos(t) och sin(t) kan vi vara säkra på att inga andra skärningspunkter förekommer. Bäst är förstås att rita upp kurvan.

(x(t),y(t))=(cos(t),(e^(-((2 t)/(5 π))))sin(t))

x'(t)=-sin(t)

Vi kan lätt konstatera att kurvan är positivt orienterad. Den inneslutna arean blir därmed

A=-(∫_π^(3π))y(t)x'(t)dt=-(∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π))))sin(t)(-sin(t))dt=(∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π))))(sin^2)(t)dt

=(1/2)(∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π))))(1-cos(2 t))dt=(1/2)((∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π))))dt-(∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π))))cos(2 t)dt)

(∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π))))dt= (Subscript[[-((5 π)/2) (e^(-((2 t)/(5 π))))], π]^(3π))=((5 π)/2) ((e^(-(2/5)))-(e^(-(6/5))))

(∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π))))cos(2 t)dt(Overscript[=, P.I.])(Underscript[(Underscript[(Subscript[[(e^(-((2 t)/(5 π))))((1/2) sin(2 t))], π]^(3π)), ⏝]), 0])-(∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π))))(-(2/(5 π)))((1/2) sin(2 t))dt

=(1/(5π))(∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π))))sin(2 t)dt(Overscript[=, P.I.])(1/(5π)) ((Subscript[[(e^(-((2 t)/(5 π))))(-(1/2) cos(2 t))], π]^(3π))-(∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π))))(-(2/(5 π)))(-(1/2) cos(2 t))dt)

=(1/(10π))((e^(-(2/5)))-(e^(-(6/5))))-(1/(((5π))^2))(∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π)))) cos(2 t)dt

∴(1+(1/(((5π))^2)))(∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π))))cos(2 t)dt=(1/(10π))((e^(-(2/5)))-(e^(-(6/5))))⇔(∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π))))cos(2 t)dt=((5 π)/(2+50 (π^2)))((e^(-(2/5)))-(e^(-(6/5))))

Den inneslutna arean blir slutligen

A=(1/2)((∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π))))dt-(∫_π^(3π))(e^(-((2 t)/(5 π))))cos(2 t)dt)=(1/2)(((5 π)/2) ((e^(-(2/5)))-(e^(-(6/5))))-((5 π)/(2+50 (π^2)))((e^(-(2/5)))-(e^(-(6/5)))))

=(1/2)(((5 π)/2)-((5 π)/(2+50 (π^2)))) ((e^(-(2/5)))-(e^(-(6/5))))=((125 (π^3))/(4+100 (π^2)))((e^(-(2/5)))-(e^(-(6/5))))

Mathematica

ClearAll["`"]

(e^(-((2 t)/(5 π))))sin(t)

{x[t_],y[t_]}={ Cos[t],(E^(-((2 t)/(5 π))))Sin[t]};

A=-Integrate[y[t]x'[t],{t,π,3π}]

ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,π,3π},AxesLabel->{"x","y"}]

Exempel 2

Bestäm längden av kurvan

ℭ:({{{, ({{x(t)=(t^2)+1}, {y(t)=1-(t^3)}})}}), -1≤t≤1

Lösning

Längden av tangentens riktningsvektor (farten) blir

(x'(t),y'(t))=(2t,-3(t^2))=>(Sqrt[(((x'(t)))^2)+(((y'(t)))^2)])=(Sqrt[4 (t^2)+9 (t^4)])

Båglängden av kurvan blir därmed

ℒ=(∫_(-1)^1)(Sqrt[4 (t^2)+9 (t^4)])dt(Overscript[=, jämn
funktion])2(∫_0^1)(Sqrt[4 (t^2)+9 (t^4)])dt=2(∫_0^1)(Sqrt[1+(9/4) (t^2)])2t dt{({{u=1+(9/4) (t^2)}, {du=(9/2)t dt}})}

=2(∫_(1+(9/4) (0^2))^(1+(9/4) (1^2)))(Sqrt[u]) (4/9)du=(8/9)(∫_1^(13/4))(u^(1/2)) du=(Subscript[(8/9)[((u^(3/2))/(3/2))], 1]^(13/4))=(8/9) (((13 (Sqrt[13]))/12)-(2/3))=(2/27) (13 (Sqrt[13])-8)

Den kan vara intressant att notera att ((dy)/(dx)) för vår kurva (((1-y))^2)=(((x-1))^3) inte existerar i punkten (1,1), men att detta inte är något problem i parameterbeskrivningen.

Mathematica

ClearAll["`*"]

𝕩[t_]:={(t^2)+1,1-(t^3)};
𝕩'[t]

v[t_]=(Sqrt[𝕩'[t].𝕩'[t]])

ℒ=Integrate[v[t],{t,-1,1}]

Alternativt:

(∫_(-1)^1)(Norm[𝕩'(t)])\[DifferentialD]t

Exempel 3

Bestäm  längden av kurvan och arean som innesluts av

ℭ:({{{, ({{x(t)=(e^(cos(t)))}, {y(t)=(e^(sin(t)))}})}}), 0≤t≤2π

Lösning

Tangentens riktningsvektor är

(x'(t),y'(t))=((e^(cos(t)))(-sin(t)),(e^(sin(t)))cos(t))=>(Sqrt[(((x'(t)))^2)+(((y'(t)))^2)])=(Sqrt[(sin^2)(t) (e^(2 cos(t)))+(cos^2)(t)(e^(2 sin(t)))])

Båglängden av kurvan blir

ℒ=(∫_0^(2π))(Sqrt[(((x'(t)))^2)+(((y'(t)))^2)])dt=(∫_0^(2π))(Sqrt[(sin^2)(t) (e^(2 cos(t)))+(cos^2)(t)(e^(2 sin(t)))])dt

Den inneslutna arean blir

A=-(∫_0^(2π))y(t)x'(t)dt=-(∫_0^(2π))(e^(sin(t)))(e^(cos(t)))(-sin(t))dt=(∫_0^(2π))(e^(sin(t)+cos(t)))sin(t)dt

Ingen av dessa integraler har någon enkel lösning med primitiv funktion så vi överlåter detta till Mathematica med numeriskt integration. (Den andra integralen kan faktiskt uttryckas exakt 2 π (BesselI[1, (Sqrt[2])]) med en besselfunktion.)

Mathematica

ClearAll["`*"]

𝕩[t_]:={(E^(Cos[t])),(E^(Sin[t]))};
{x[t_],y[t_]}={(E^(Cos[t])),(E^(Sin[t]))};

ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,π,3π},AxesLabel->{"x","y"}]

ℒ=NIntegrate[(Sqrt[𝕩'[t].𝕩'[t]]),{t,0,2π}]

A=-NIntegrate[y[t]x'[t],{t,0,2π}]

Polära koordinater

Adams (6^th) ed. ch. 8.5
Adams (7^th) ed. ch. 8.5

Teori

Med en polär representation i planet menas.

({{{, ({{x=r cos(θ)}, {y=r sin(θ)}})}})⇔({{{, ({{r=(Sqrt[(x^2)+(y^2)])}, {tan(θ)=(y/x)}})}})

Representation kallas polär eftersom (r,θ) inte har en entydig representation i origo (x,y)=(0,0). Man säger att (0,0) är en pol.

Vilken form man presenterar en kurva på beror situationen och enkelheten. Antag t.ex. att vi betraktar en ellips. Den parameterfria formen för rektangulära koordinater är

((((x/a)))^2)+((((y/b)))^2)=1

Om vi inför polära koordinater erhålls

(((((r cos(θ))/a)))^2)+(((((r sin(θ))/b)))^2)=1⇔(b^2)(cos^2)(θ)+(a^2)(sin^2)(θ)=((a b)/r)⇔(b^2)(cos^2)(θ)+(a^2)(sin^2)(θ)=(((((a b)/r)))^2)

⇔(b^2)(cos^2)(θ)+(a^2)(1-(cos^2)(θ))=(((((a b)/r)))^2)⇔((b^2)-(a^2))(cos^2)(θ)+(a^2)=(((((a b)/r)))^2)

=>r=((a b)/(Sqrt[(a^2)+((b^2)-(a^2)) (cos^2)(θ)]))

En alternativ beskrivning av ellipsen får vi om vi flyttar origo till en av ellipsens brännpunkter. Avståndet mellan brännpunkterna  är 2c=2(Sqrt[(a^2)-(b^2)]). När den röda punkten genomlöper ellipsen är alltid r+(Subscript[r, 2])=2a.

Man brukar definiera ellipsens excentricitet med ε=c/a. Man kan visa att det är möjligt att bestämma p så att kvoten mellan r och det horisontella avståndet mellan det röda punkten och p alltid är lika med ε.

(r/(p+r cos(θ)))=ε⇔r=((p ε)/(1-ε cos(θ)))

Dettas ger oss en alternativ beskrivning av ellipsen. Man kan visa att för 0<ε<1 erhålls en ellips, för ε=1 en parabel och för ε>1 en hyperbel.

Exempel 1

En kurva på formen r(θ)  kan åskådliggöras i xy-planet med PolarPlot.

ClearAll["`*"]

r[θ_]:=((p ε)/(1-ε Cos[θ]))

ε=0.8;p=0.6;
PolarPlot[r[θ],{θ,-π,π},AxesLabel->{"x","y"},PlotLabel->"ellips"]

Plot[r[θ],{θ,-π,π},AxesLabel->{"θ","r"},PlotRange->{0,All}]

ε=1.8;p=-0.6;
PolarPlot[r[θ],{θ,-π,π},AxesLabel->{"x","y"},PlotLabel->"hyperbel",Exclusions->ε Cos[θ]==1]

Plot[r[θ],{θ,-π,π},AxesLabel->{"θ","r"},Exclusions->ε Cos[θ]==1]

Exempel 2

Man kan rita många roliga kurvor med PolarPlot. Här är ett några exempel, men sedan får du experimentera på egen hand.

ClearAll["`*"]

r[θ_]:=θ
PolarPlot[r[θ],{θ,0,4π}]

r[θ_]:=Cos[θ]
PolarPlot[r[θ],{θ,0,π}]

r[θ_]:=Cos[5θ]
PolarPlot[r[θ],{θ,0,π}]

r[θ_]:=Log[θ]
PolarPlot[r[θ],{θ,(E^(-4)),(E^4)}]