Kursplan

Kursplan

Kursens mål: Efter genomgången kurs ska studenten för godkänt betyg kunna

• Använda, förklara och tillämpa grundbegrepp och problemlösningsmetoder inom differential- och integralkalkyl i flera variabler, särskilt
  • tolka funktionsgrafer och nivåkurvor/nivåytor och skissera sådan kurvor och ytor i enklare fall
  • beräkna partiella derivator och använda kedjeregeln för reell- och vektorvärda funktioner av flera variabler
  • bestämma och klassificera kritiska punkter
  • använda Taylors formel för att approximera funktioner samt uppskatta approximationsfelets storlek
  • använda Jacobimatrisen för att genomföra linjär approximation 
  • använda gradienten för att beräkna riktingsderivata och visa förståelse för gradientens förhållande till nivåkurvor/nivåytor
  • lösa vissa optimeringsproblem, även med bivillkor
  • förklara hur multipelintegraler definieras och hur de kan approximeras med hjälp av Riemannsummor.
  • beräkna vissa multipelintegraler med hjälp av upprepad enkelintegrering och variabelbyten, speciellt till polära, cylindriska och rymdpolära (sfäriska) koordinater
  • visa förståelse för hur man kan använda integralkalkyl för att beräkna längder, areor, volymer och andra storheter som t ex massa och tyngdpunkt
  • redogöra för hur kurvintegraler samt yt- och flödesintegraler definieras samt genomföra beräkningar av enklare sådana med hjälp av parameterisering
  • redogöra för och tillämpa Greens formel och Gauss sats (Divergenssatsen)
  • förklara begreppen potential och konservativt vektorfält samt använda dessa i beräkningar
  • Ställa upp enklare matematiska modeller för företeelser och förlopp som kan beskrivas med funktioner av flera variabler eller vektorvärda funktioner, och diskutera sådana modellers och deras lösningars relevans, rimlighet och noggrannhet, samt ha kännedom om hur matematisk programvara kan användas för att genomföra beräkningar inom flervariabelanalys.
  • Läsa och tillgodogöra sig text om flervariabelanalys och dess tillämpningar samt kommunicera matematiska resonemang och beräkningar inom detta område muntligen och skriftligen.

För högre betyg skall studenten dessutom kunna

• Redogöra för begreppen gränsvärde, kontinuitet, deriverbarhet och differentierbarhet för reellvärda funktioner av flera variabler.
• Beräkna gränsvärden för funktioner av flera variabler och identifiera situationer när gränsvärde saknas.
• Visa förståelse för hur Jacobimatrisen kan användas för att avgöra om en funktion är lokalt inverterbar.
• Tillämpa implicita funktionssatsen.
• Redogöra för och tillämpa Stokes sats.
• Lösa problem som kräver mer omfattande beräkningar i flera steg.
• Generalisera och anpassa metoder för att användas i delvis nya situationer.
• Lösa problem som kräver syntes av material och idéer från hela kursen
• Härleda viktiga samband och satser inom flervariabelanalysen. 

Huvudsakligt innehåll. Rummen Rn. Funktioner av flera variabler och vektorvärda funktioner inklusive följande egenskaper och begrepp. Funktionsyta, nivåkurva, nivåyta. Gränsvärde och kontinuitet, differentierbarhet, partiell derivata, kedjeregeln, differentialer. Tangentplan och linjär approximation. Taylors formel i flera variabler Gradient och riktningsderivata. Jacobimatris, Jacobideterminant. Inverterbarhet och implicit definierade funktioner. Koordinattransformationer. Optimering. Multipelintegraler. Kurvintegraler och Greens formel. Flödesintegraler och Gauss och Stokes satser. Tillämpningar.