Kursinnehåll

Innehållet i kursen SF1626 Flervariabelanalys är utformat efter ett antal lärandemål. Dessa mål finns formulerade i kursplanen för kursen.

Lärandemålen svarar ganska nära mot kapitel i kursboken Analys i flera variabler av L-C Böiers och A Persson. Här nedan finns en lista över vilka kapitel i boken som svarar mot vilka lärandemål. Till varje kapitel finns också ett antal rekommenderade uppgifter ur övningsboken Övningar i Analys i flera variabler. Dessa är av två typer:

* "α-uppgifter" för övning på grundläggande begrepp och metoder, ungefär motsvarande lärandemålen för godkänt betyg.
* "β-uppgifter" för övning på mer avancerade begrepp och metoder. Dessa kan svara mot lärandemålen för högre betyg och är lämpliga att diskutera under seminarierna.
De rekommenderade uppgifterna är huvudsakligen avsedda för studenternas självstudier. På föreläsningar och övningar så väljer lärarna andra (men kanske liknande) uppgifter.

Uppgifter markerade med ”sem1” - ”sem6” är de uppgifter som ska lösas inför respektive seminarium. Någon av uppgifterna redovisas på seminariet, antingen vid ett prov eller genom inlämning. För mer information se seminariesidan.

I slutet av listan finns de allmänna lärandemålen formulerade. Dessa är kopplade till alla kapitel i läroboken.

Funktioner Avsnitt 1.1-1.6. Rummet Rn. Funktioner av flera variabler och vektorvärda funktioner inklusive följande egenskaper och begrepp: funktionsyta, nivåkurva, nivåyta, gränsvärde och kontinuitet.

För godkänt betyg ska studenten kunna

* tolka funktionsgrafer och nivåkurvor/nivåytor och skissera sådan kurvor och ytor i enklare fall
För högre betyg ska studenten dessutom kunna

* beräkna gränsvärden för funktioner av flera variabler och identifiera situationer när gränsvärde saknas
* redogöra för begreppen gränsvärde, kontinuitet för reellvärda funktioner av flera variabler
α-uppgifter: 1.1, 1.2, 1.4, 1.6 (M₁,₅₋₇), 1.9sem1, 1.10 (M₁), 1.11, 1.14 β-uppgifter: 1.7, 1.8, 1.10 (M₂,₄,₅,₆), 1.13, 1.19, 1.16ab, 1.22, 1.23, 1.24bcsem1, 1.24adefg, 1.29cdsem1, 1.29abe

Differentialkalkyl för reellvärda funktioner Avsnitt 2.1-2.6. Partiella derivator, differentierbarhet, kedjeregeln, differentialer. Tangentplan och linjär approximation. Taylors formel i flera variabler. Gradient och riktningsderivata.

För godkänt betyg ska studenten kunna

* beräkna partiella derivator och använda kedjeregeln för reell- och vektorvärda funktioner av flera variabler
* bestämma och klassificera kritiska punkter
* använda Taylors formel för att approximera funktioner samt uppskatta approximationsfelets storlek
För högre betyg ska studenten dessutom kunna

* redogöra för begreppen deriverbarhet och differentierbarhet för reellvärda funktioner av flera variabler
α-uppgifter: 2.1, 2.4sem2, 2.11sem2, 2.13sem2, 2.15, 2.28ab, 2.30sem2, 2.32sem2, 2.50, 2.61, 2.66, 2.67 β-uppgifter: 2.6, 2.9, 2.17, 2.26, 2.27, 2.33, 2.34ab, 2.37, 2.62b, 2.68, 2.70

Differentialkalkyl för vektorvärda funktioner Avsnitt 3.1-3.4. Kurvor och ytor. Jacobimatris, Jacobideterminant. Inverterbarhet och implicit definierade funktioner. Koordinattransformationer.

För godkänt betyg ska studenten kunna

* använda Jacobimatrisen för att genomföra linjär approximation
* använda gradienten för att beräkna riktingsderivata och visa förståelse för gradientens förhållande till nivåkurvor/nivåytor
För högre betyg ska studenten dessutom kunna

* visa förståelse för hur Jacobimatrisen kan användas för att avgöra om en funktion är lokalt inverterbar
* tillämpa implicita funktionssatsen
α-uppgifter: 3.1, 3.2, 3.3, 2.42, 3.6, 3.10, 3.12, 3.16, 3.23 β-uppgifter: 3.4, 3.5, 2.34c, 2.39, 2.43, 2.45, 3.7, 3.13, 3.17, 3.21, 3.22, 3.26, 3.28, 3.31

Optimering Avsnitt 4.1-4.3. Optimering på kompakta områden. Optimering på icke-kompakta mängder. Optimering med bivillkor.

För godkänt betyg ska studenten kunna

* lösa vissa optimeringsproblem, även med bivillkor
α-uppgifter: 4.3sem3, 4.8sem3, 4.11sem3, 4.17, 4.23sem3, 4.25, 4.40, 4.43 β-uppgifter: 4.1, 4.12, 4.15, 4.19, 4.22, 4.26, 4.27, 4.30, 4.32☠, 4.41, 4.47

Dubbelintegraler Avsnitt 6.1-6.4, 6.6. Dubbelintegral över rektangel. Dubbelintegral över godtyckliga områden. Approximation med Riemannsummor. Variabelbyte i dubbelintegraler. Generaliserade dubbelintegraler.

För godkänt betyg ska studenten kunna

* förklara hur dubbelintegraler definieras och hur de kan approximeras med hjälp av Riemannsummor
* beräkna vissa dubbelintegraler med hjälp av upprepad enkelintegrering och variabelbyten, speciellt till polära koordinater
α-uppgifter: 6.1, 6.4, 6.10sem4, 6.12sem4, 6.14sem4, 6.19, 6.21, 6.22 β-uppgifter: 6.11, 6.14, 6.15, 6.17a, 6.23, 6.24, 6.34, 6.35, 6.39☠, 6.40

Multipelintegraler Avsnitt 7.1. Trippelintegraler.

För godkänt betyg ska studenten kunna

* förklara hur multipelintegraler definieras och hur de kan approximeras med hjälp av Riemannsummor
* beräkna vissa multipelintegraler med hjälp av upprepad enkelintegrering och variabelbyten, speciellt till cylindriska och rymdpolära (sfäriska) koordinater
α-uppgifter: 7.1, 7.3, 7.5, 7.8bc, 7.11 β-uppgifter: 7.4sem5, 7.6, 7.12sem5, 7.13, 7.14☠, 7.15, 7.17☠

Användning av integraler Avsnitt 8.1, 8.2, 8.4. Volymberäkningar. Area av buktig yta. Masscentrum.

För godkänt betyg ska studenten kunna

* visa förståelse för hur man kan använda integralkalkyl för att beräkna längder, areor, volymer och andra storheter som t ex massa och tyngdpunkt
α-uppgifter: 8.2sem5, 8.4, 8.14, 8.15sem56, 8.28, 8.29sem5 β-uppgifter: 8.8, 8.11☠, 8.13☠, 8.18, 8.31

Vektoranalys i planet Avsnitt 9.1-9.4. Kurvintegraler. Greens formel. Tillämpningar av Greens formel. Potentialer och exakta differentialformer.

För godkänt betyg ska studenten kunna

* redogöra för hur kurvintegraler definieras samt genomföra beräkningar av enklare sådana med hjälp av parameterisering
* redogöra för och tillämpa Greens formel
* förklara begreppen potential och konservativt vektorfält samt använda dessa i beräkningar
α-uppgifter: 9.2sem6, 9.3bc, 9.4, 9.9sem6, 9.10, 9.29, 9.31sem6

β-uppgifter: 9.5, 9.12sem6, 9.13, 9.19☠, 9.21☠, 9.33, 9.39, 9.40

Vektoranalys i rummet Avsnitt 10.1-10.5. Kurvintegraler. Flödesintegraler. Gauss' sats. Stokes' sats.

För godkänt betyg ska studenten kunna

* redogöra för hur kurvintegraler samt yt- och flödesintegraler definieras samt genomföra beräkningar av enklare sådana med hjälp av parameterisering
* redogöra för och tillämpa Gauss sats (Divergenssatsen)
* förklara begreppen potential och konservativt vektorfält samt använda dessa i beräkningar
För högre betyg ska studenten dessutom kunna

* redogöra för och tillämpa Stokes sats
α-uppgifter: 10.2, 10.3, 10.8, 10.9, 10.11, 10.16ab, 10.19, 10.20 β-uppgifter: 10.13, 10.23, 10.27, 10.52☠, 10.53☠, 10.59, 10.63

Allmänna matematiska grundbegrepp Avsnitt A.2. Funktioner.

Allmänna lärandemål För godkänt betyg ska studenten kunna

* Ställa upp enklare matematiska modeller för företeelser och förlopp som kan beskrivas med funktioner av flera variabler eller vektorvärda funktioner, och diskutera sådana modellers och deras lösningars relevans, rimlighet och noggrannhet, samt ha kännedom om hur matematisk programvara kan användas för att genomföra beräkningar inom flervariabelanalys.
* Läsa och tillgodogöra sig text om flervariabelanalys och dess tillämpningar samt kommunicera matematiska resonemang och beräkningar inom detta område muntligen och skriftligen.
För högre betyg ska studenten dessutom kunna

* Lösa problem som kräver mer omfattande beräkningar i flera steg.
* Generalisera och anpassa metoder för att användas i delvis nya situationer.
* Lösa problem som kräver syntes av material och idéer från hela kursen
* Härleda viktiga samband och satser inom flervariabelanalysen.