Ändringar mellan två versioner
Här visas ändringar i "Complex numbers (en)" mellan 2015-02-05 22:07 av William Sandqvist och 2015-02-05 22:10 av William Sandqvist.
Visa < föregående | nästa > ändring.
Complex numbers (en)
Rehersal, complex numbers ...
en pdf complex_en.pdf
en Basic properties of complex numbers Definitions A common, real number is usually illustrated as a point on the so-called number line. The magnitude is represented by the distance from the point in question to zero.
tallinjen.jpgnumberline.bmp
A complex number z consists of two components. It can be written as a + jb. Here, a and b are real numbers. j is the square root of -1 and is called the imaginary unit. a is the complex number real part Re (Z). b is the imaginary part, Im (Z).
Every complex number can be represented as a point in a two-dimensional coordinate system, the complex plane.
komplexplan.bmp
Number z is represented by a point with coordinates a and b.
The distance from the point to the origin represents the amount or number value |z|.
belopp.jpg
or
belopp2.jpg
The angle α is called the argument of z, arg(z) and as seen in the figure
tana.jpg
or
argz.jpg
We can also express z in polar form, eg with |z| and α. As seen in the figure
polarz.jpg
One can then imagine that it's the connecting line between the point and the origin that represents the number. We can see this as a pointer (vector) with the length |z| och en direction that is defined by the angle α.
Basic properties Complex numbers can be treated algebraically, the following rules apply.
Addition komplexadd.jpg
z1z2add.jpg
Figuren visar vad additionen innebär i det komplexatalplanet. Visaren för z blir lika med den geometriska summan av visarna för z1 och z2. För |z| och arg(z) gäller de tidigare angivna generella uttrycken.
Subraction z1z2sub.jpg
I talplanet blir visaren för z lika med den geometriska skillnaden mellan visarna för z1 och z2.
Multiplication Multiplikationsregeln demonstrerar vi enklast med ett exempel.
z1z1mult.jpg
Multiplikationen kan också genomföras med talen uttryckta i polär form.
komplexmult.jpg
polarmult.jpg
Detta innebär att
polmulti.jpg
Division Algebraiskt genomförs divisionen så här:
div.jpg
Nu vill man ofta ha resultatet i formen a+jb och i så fall förlänger man med nämnarens konjugatkvantitet a2 - jb2. Då får man
konjugat.jpg
Uttrycks talen i polär form kommer divisionsregeln att se ut så här:
argdiv.jpg
Några minnesregler
* Om z = z1 + z2, så är i allmänhet |z| ≠ |z1| + |z2|( endast om arg(z1) = arg(z2) är |z| = |z1| + |z2| )
* När man skall bilda beloppet av en produkt eller en kvot mellan två komplexa tal z1 ochz2 är det i allmänhet onödigt att först ta fram det komplexa resultatet och sedan bilda beloppet av detta. Man beräknar istället |z1| och|z2| var för sig, ty som vi sett gäller
abs.jpg
Exempel Exempel 1 Gör om uttrycket 2 + 3/j till formen a+jb.
ex1.jpg
Exempel 2 Skriv uttrycket z = 6 + jA + 1/(jB) i allmän form för komplexa tal, samt teckna beloppet av uttrycket.
ex2.jpg
Exempel 3 Bestäm |z| och arg(z) om z = z1·z2 och z1 = j och z2 = -1 -j
ex3fig.jpg
Algebraiskt ex3.jpg
Polärt ex3polar.jpg
Exempel 4 z1 = 3 + j5, z2 = 5 + j7. Beräkna
ex4q.jpg
ex4.jpg
Om man istället hade multiplicerat med konjugatkvantiteten hade man fått
ex4konjug.jpg
Om man jämför med ovanstående ser man att komplexkonjugeringen medför mycket mera arbete!
Övningsuppgifter Fråga 1 Åt vilket håll pekar visaren z = -2 + j2 ?
rutat.jpg
[ Answers and solutions ]
Fråga 2 Vad är summan av z1 och z2 om z1 = 1 + j2 och z2 = 2 - j ?
[ Answers and solutions ]
Fråga 3 Hur lång är visaren 3 + j4 ?
[ Answers and solutions ]
Fråga 4 Rita visaren z = z1 - z2 om z1 = 1 + j och z2 = 2 + j ?
rutat.jpg
[ Answers and solutions ]
Fråga 5 Hur stor blir Im(z) om z = z1 + z2 ?z1 = 3(1+j) och z2 = 2(1-j) .
[ Answers and solutions ]
Fråga 6 Hur stor blir |z| om z = z1·z2 ?z1 = 2 + j och z2 = -(2 + j) .
[ Answers and solutions ]
Fråga 7 Vad blir |3+j4|· |j2| ?
[ Svar och lösningar ]
Fråga 8 Bestäm |z| och arg(z) om z = z1·z2 och z1 = 1 + j och z2 = -1 + j .
rutat.jpg
[ Answers and solutions ]
Fråga 9 Vad blir z = z1·z2 om z1 = j och z2 = 1 - j .
rutat.jpg
[ Answers and solutions ]
Fråga 10 Vad är |z| ?
q10.jpg
[ Answers and solutions ]
Fråga 11 Beräkna z.z1 = 2 + j3 och z2 = 1 + j .
q11.jpg
rutat.jpg
[ Answers and solutions ]
This exercise booklet has been given to me by Per-Erik Lindahl. It has been used as an aid in courses of circuit theory.