Visa version
Visa
< föregående
|
nästa >
Jämför
< föregående
|
nästa >
Complex numbers (en)
Rehersal, complex numbers ...
complex_en.pdf
Basic properties of complex numbers
Definitions
A common, real number is usually illustrated as a point on the so-called number line. The magnitude is represented by the distance from the point in question to zero.
A complex number z consists of two components. It can be written as a + jb. Here, a and b are real numbers. j is the square root of -1 and is called the imaginary unit. a is the complex number real part Re (Z). b is the imaginary part, Im (Z).
Every complex number can be represented as a point in a two-dimensional coordinate system, the complex plane.
Number z is represented by a point with coordinates a and b.
The distance from the point to the origin represents the amount or number value |z|.
or
The angle α is called the argument of z, arg(z) and as seen in the figure
or
We can also express z in polar form, eg with |z| and α. As seen in the figure
One can then imagine that it's the connecting line between the point and the origin that represents the number. We can see this as a pointer (vector) with the length |z| och en direction that is defined by the angle α.
Basic properties
Complex numbers can be treated algebraically, the following rules apply.
Addition
Figuren visar vad additionen innebär i det komplexatalplanet. Visaren för z blir lika med den geometriska summan av visarna för z1 och z2. För |z| och arg(z) gäller de tidigare angivna generella uttrycken.
Subraction
I talplanet blir visaren för z lika med den geometriska skillnaden mellan visarna för z1 och z2.
Multiplication
Multiplikationsregeln demonstrerar vi enklast med ett exempel.
Multiplikationen kan också genomföras med talen uttryckta i polär form.
Detta innebär att
Division
Algebraiskt genomförs divisionen så här:
Nu vill man ofta ha resultatet i formen a+jb och i så fall förlänger man med nämnarens konjugatkvantitet a2 - jb2. Då får man
Uttrycks talen i polär form kommer divisionsregeln att se ut så här:
Några minnesregler
-
Om z = z1 + z2, så är i allmänhet |z| ≠ |z1| + |z2|
( endast om arg(z1) = arg(z2) är |z| = |z1| + |z2| ) -
När man skall bilda beloppet av en produkt eller en kvot mellan två komplexa tal z1 ochz2 är det i allmänhet onödigt att först ta fram det komplexa resultatet och sedan bilda beloppet av detta. Man beräknar istället |z1| och|z2| var för sig, ty som vi sett gäller
Exempel
Exempel 1
Gör om uttrycket 2 + 3/j till formen a+jb.
Exempel 2
Skriv uttrycket z = 6 + jA + 1/(jB) i allmän form för komplexa tal, samt teckna beloppet av uttrycket.
Exempel 3
Bestäm |z| och arg(z) om z = z1·z2 och z1 = j och z2 = -1 -j
Algebraiskt
Polärt
Exempel 4
z1 = 3 + j5, z2 = 5 + j7. Beräkna
Om man istället hade multiplicerat med konjugatkvantiteten hade man fått
Om man jämför med ovanstående ser man att komplexkonjugeringen medför mycket mera arbete!
Övningsuppgifter
Fråga 1
Åt vilket håll pekar visaren z = -2 + j2 ?
Fråga 2
Vad är summan av z1 och z2 om z1 = 1 + j2 och z2 = 2 - j ?
Fråga 3
Hur lång är visaren 3 + j4 ?
Fråga 4
Rita visaren z = z1 - z2 om z1 = 1 + j och z2 = 2 + j ?
Fråga 5
Hur stor blir Im(z) om z = z1 + z2 ?
z1 = 3(1+j) och z2 = 2(1-j) .
Fråga 6
Hur stor blir |z| om z = z1·z2 ?
z1 = 2 + j och z2 = -(2 + j) .
Fråga 7
Vad blir |3+j4|· |j2| ?
Fråga 8
Bestäm |z| och arg(z) om z = z1·z2 och z1 = 1 + j och z2 = -1 + j .
Fråga 9
Vad blir z = z1·z2 om z1 = j och z2 = 1 - j .
Fråga 10
Vad är |z| ?
Fråga 11
Beräkna z.
z1 = 2 + j3 och z2 = 1 + j .
This exercise booklet has been given to me by Per-Erik Lindahl. It has been used as an aid in courses of circuit theory.