Complex numbers (en)

Rehersal, complex numbers ...

en pdf complex_en.pdf

en Basic properties of complex numbers Definitions A common, real number is usually illustrated as a point on the so-called number line. The magnitude is represented by the distance from the point in question to zero.

tallinjen.jpg

A complex number z consists of two components. It can be written as a + jb. Here, a and b are real numbers. j is the square root of -1 and is called the imaginary unit. a is the complex number real part Re (Z). b is the imaginary part, Im (Z).

Every complex number can be represented as a point in a two-dimensional coordinate system, the complex plane.

komplexplan.jpg

Number z is represented by a point with coordinates a and b.

The distance from the point to the origin represents the amount or number value |z|.

belopp.jpg

or

belopp2.jpg

The angle α is called the argument of z, arg(z) and as seen in the figure

tana.jpg

or

argz.jpg

We can also express z in polar form, eg with |z| and α. As seen in the figure

polarz.jpg

One can then imagine that it's the connecting line between the point and the origin that represents the number. We can see this as a pointer (vector) with the length |z| och en direction that is defined by the angle α.

Basic properties Complex numbers can be treated algebraically, the following rules apply.

Addition komplexadd.jpg

z1z2add.jpg

Figuren visar vad additionen innebär i det komplexatalplanet. Visaren för z blir lika med den geometriska summan av visarna för z1 och z2. För |z| och arg(z) gäller de tidigare angivna generella uttrycken.

Subraction z1z2sub.jpg

I talplanet blir visaren för z lika med den geometriska skillnaden mellan visarna för z1 och z2.

Multiplication Multiplikationsregeln demonstrerar vi enklast med ett exempel.

z1z1mult.jpg

Multiplikationen kan också genomföras med talen uttryckta i polär form.

komplexmult.jpg

polarmult.jpg

Detta innebär att

polmulti.jpg

Division Algebraiskt genomförs divisionen så här:

div.jpg

Nu vill man ofta ha resultatet i formen a+jb och i så fall förlänger man med nämnarens konjugatkvantitet a2 - jb2. Då får man

konjugat.jpg

Uttrycks talen i polär form kommer divisionsregeln att se ut så här:

argdiv.jpg

Några minnesregler
* Om z = z1 + z2, så är i allmänhet |z| ≠ |z1| + |z2|( endast om arg(z1) = arg(z2) är |z| = |z1| + |z2| )

* När man skall bilda beloppet av en produkt eller en kvot mellan två komplexa tal z1 ochz2 är det i allmänhet onödigt att först ta fram det komplexa resultatet och sedan bilda beloppet av detta. Man beräknar istället |z1| och|z2| var för sig, ty som vi sett gäller

abs.jpg

Exempel Exempel 1 Gör om uttrycket 2 + 3/j till formen a+jb.

ex1.jpg

Exempel 2 Skriv uttrycket z = 6 + jA + 1/(jB) i allmän form för komplexa tal, samt teckna beloppet av uttrycket.

ex2.jpg

Exempel 3 Bestäm |z| och arg(z) om z = z1·z2 och z1 = j och z2 = -1 -j

ex3fig.jpg

Algebraiskt ex3.jpg

Polärt ex3polar.jpg

Exempel 4 z1 = 3 + j5, z2 = 5 + j7. Beräkna

ex4q.jpg

ex4.jpg

Om man istället hade multiplicerat med konjugatkvantiteten hade man fått

ex4konjug.jpg

Om man jämför med ovanstående ser man att komplexkonjugeringen medför mycket mera arbete!

Övningsuppgifter Fråga 1 Åt vilket håll pekar visaren z = -2 + j2 ?

rutat.jpg

[ Svar och lösningarAnswers and solutions ]

Fråga 2 Vad är summan av z1 och z2 om z1 = 1 + j2 och z2 = 2 - j ?

[ Svar och lösningarAnswers and solutions ]

Fråga 3 Hur lång är visaren 3 + j4 ?

[ Svar och lösningarAnswers and solutions ]

Fråga 4 Rita visaren z = z1 - z2 om z1 = 1 + j och z2 = 2 + j ?

rutat.jpg

[ Svar och lösningarAnswers and solutions ]

Fråga 5 Hur stor blir Im(z) om z = z1 + z2 ?z1 = 3(1+j) och z2 = 2(1-j) .

[ Svar och lösningarAnswers and solutions ]

Fråga 6 Hur stor blir |z| om z = z1·z2 ?z1 = 2 + j och z2 = -(2 + j) .

[ Svar och lösningarAnswers and solutions ]

Fråga 7 Vad blir |3+j4|· |j2| ?

[ Svar och lösningar ]

Fråga 8 Bestäm |z| och arg(z) om z = z1·z2 och z1 = 1 + j och z2 = -1 + j .

rutat.jpg

[ Svar och lösningarAnswers and solutions ]

Fråga 9 Vad blir z = z1·z2 om z1 = j och z2 = 1 - j .

rutat.jpg

[ Svar och lösningarAnswers and solutions ]

Fråga 10 Vad är |z| ?

q10.jpg

[ Svar och lösningarAnswers and solutions ]

Fråga 11 Beräkna z.z1 = 2 + j3 och z2 = 1 + j .

q11.jpg

rutat.jpg

[ Svar och lösningar ]¶ Detta övningshäfte har jag fått avAnswers and solutions ]¶

This exercise booklet has been given to me by Per-Erik Lindahl. DeIt har ans been used as an aid in courses of circuit theory.