Complex numbers (en)

Repetitionhersal, kcomplexa tal numbers ...

swen pdf complex_en.pdf

sw Räkneregler för komplexa tal Definitioner Ett vanligt, reellt tal a brukar man åskådliggöra som en punkt på den s.k. tallinjen. Talets storlek representeras av avståndet från punkten ifråga till tallinjens nollpunkten Basic properties of complex numbers Definitions A common, real number is usually illustrated as a point on the so-called number line. The magnitude is represented by the distance from the point in question to zero.

tallinjen.jpg

Ett kA complext tal z består av två k number z consists of two componenter. Des. It kcan skrivbe written as a + jb. Här är a ochere, a and b areella tal. j är roten ur -1 och kallas den imaginära enheten. a är det komplexa talets realdel Re(z). b är dess imaginärdel real numbers. j is the square root of -1 and is called the imaginary unit. a is the complex number real part Re (Z). b is the imaginary part, Im(z (Z).

Varje komplext tal kan åskådliggöras som en punkt i ett tvåEvery complex number can be represented as a point in a two-dimensionellt kal coordinate system, det kthe complexa tal planet.

komplexplan.jpg

Talet z representeras av en punkt med kNumber z is represented by a point with coordinaterns a a ochnd b.

Avståndet från talpunkten tillThe distance from the point to the origoin representerar talets belopp ells the amount or number tvalvärdue |z|. För detta gäller

belopp.jpg

eller generelltor

belopp2.jpg

Vinkeln α kallasThe angle α is called the argumentet för of z, arg(z) och som framgår av figuren gäller¶ tana.jpg¶ Generellt gäller¶ argz.jpg¶ Vi kan också uttryckaand as seen in the figure¶

tana.jpg¶

or¶

argz.jpg¶

We can also express z in poläar form, dvs ieg with |z| ochand α. Så som framgår direkt av figuren gäller¶ polarz.jpg¶ Man kan då tänka sig att det är förbindelselinjen mellan talpunkten och origo som representerar talet. Vi kan se denna som en visare med längden |z| och en riktning som definieras av vinkeln α.¶ Räkneregler Komplexa tal kan behandlas algebraiskt, varvid följande regler gällerAs seen in the figure¶

polarz.jpg¶

One can then imagine that it's the connecting line between the point and the origin that represents the number. We can see this as a pointer (vector) with the length |z| och en direction that is defined by the angle α.¶

Basic properties Complex numbers can be treated algebraically, the following rules apply.

Addition komplexadd.jpg

z1z2add.jpg

Figuren visar vad additionen innebär i det komplexatalplanet. Visaren för z blir lika med den geometriska summan av visarna för z1 och z2. För |z| och arg(z) gäller de tidigare angivna generella uttrycken.

Subrakction z1z2sub.jpg

I talplanet blir visaren för z lika med den geometriska skillnaden mellan visarna för z1 och z2.

Multiplikcation Multiplikationsregeln demonstrerar vi enklast med ett exempel.

z1z1mult.jpg

Multiplikationen kan också genomföras med talen uttryckta i polär form.

komplexmult.jpg

polarmult.jpg

Detta innebär att

polmulti.jpg

Division Algebraiskt genomförs divisionen så här:

div.jpg

Nu vill man ofta ha resultatet i formen a+jb och i så fall förlänger man med nämnarens konjugatkvantitet a2 - jb2. Då får man

konjugat.jpg

Uttrycks talen i polär form kommer divisionsregeln att se ut så här:

argdiv.jpg

Några minnesregler
* Om z = z1 + z2, så är i allmänhet |z| ≠ |z1| + |z2|( endast om arg(z1) = arg(z2) är |z| = |z1| + |z2| )

* När man skall bilda beloppet av en produkt eller en kvot mellan två komplexa tal z1 ochz2 är det i allmänhet onödigt att först ta fram det komplexa resultatet och sedan bilda beloppet av detta. Man beräknar istället |z1| och|z2| var för sig, ty som vi sett gäller

abs.jpg

Exempel Exempel 1 Gör om uttrycket 2 + 3/j till formen a+jb.

ex1.jpg

Exempel 2 Skriv uttrycket z = 6 + jA + 1/(jB) i allmän form för komplexa tal, samt teckna beloppet av uttrycket.

ex2.jpg

Exempel 3 Bestäm |z| och arg(z) om z = z1·z2 och z1 = j och z2 = -1 -j

ex3fig.jpg

Algebraiskt ex3.jpg

Polärt ex3polar.jpg

Exempel 4 z1 = 3 + j5, z2 = 5 + j7. Beräkna

ex4q.jpg

ex4.jpg

Om man istället hade multiplicerat med konjugatkvantiteten hade man fått

ex4konjug.jpg

Om man jämför med ovanstående ser man att komplexkonjugeringen medför mycket mera arbete!

Övningsuppgifter Fråga 1 Åt vilket håll pekar visaren z = -2 + j2 ?

rutat.jpg

[ Svar och lösningar ]

Fråga 2 Vad är summan av z1 och z2 om z1 = 1 + j2 och z2 = 2 - j ?

[ Svar och lösningar ]

Fråga 3 Hur lång är visaren 3 + j4 ?

[ Svar och lösningar ]

Fråga 4 Rita visaren z = z1 - z2 om z1 = 1 + j och z2 = 2 + j ?

rutat.jpg

[ Svar och lösningar ]

Fråga 5 Hur stor blir Im(z) om z = z1 + z2 ?z1 = 3(1+j) och z2 = 2(1-j) .

[ Svar och lösningar ]

Fråga 6 Hur stor blir |z| om z = z1·z2 ?z1 = 2 + j och z2 = -(2 + j) .

[ Svar och lösningar ]

Fråga 7 Vad blir |3+j4|· |j2| ?

[ Svar och lösningar ]

Fråga 8 Bestäm |z| och arg(z) om z = z1·z2 och z1 = 1 + j och z2 = -1 + j .

rutat.jpg

[ Svar och lösningar ]

Fråga 9 Vad blir z = z1·z2 om z1 = j och z2 = 1 - j .

rutat.jpg

[ Svar och lösningar ]

Fråga 10 Vad är |z| ?

q10.jpg

[ Svar och lösningar ]

Fråga 11 Beräkna z.z1 = 2 + j3 och z2 = 1 + j .

q11.jpg

rutat.jpg

[ Svar och lösningar ]

Detta övningshäfte har jag fått av Per-Erik Lindahl. Det har an