Ämnen inom projektiv algebraisk optimering

QC 2023-11-17

Abstract

Denna avhandling utforskar optimeringsutmaningar inom algebraisk statistik genom att använda både topologiska och geometriska metoder för att nå nya insikter. Kärnuppdraget innefattar att avgöra de förväntade antalet komplexa kritiska punkter till algebraiska optimeringsproblem med bivillkor. Detta utgör en grund för att förstå optimering av log-likelihood funktionen för multivariata normalfördelningar och Euklidiska avståndsfunktionen. Det förväntade antalet lösningar till ett optimeringsproblem med bivillkor är mer allmänt känt som en optimeringsgrad. Optimeringsgraden kan användas för numeriska lösningsmetoder då den räknar antalet lösningar utan att explicit beräkna lösningarna. Optimeringsgraden kompletteras av en parallell forskningsbana som kompletterar och expanderar de primära temana genom att studera det omvända problemet när det finns en kritisk punkt inuti ett speciellt delområde och att förstå multivisa varieteten för linjer i bildkorrigeringssyfte. 

I artikel A utforskas linjära statistiska koncentrationsmodeller av centrerade multivariata gaussiska slumpvariabler. Vårt fokus ligger på att beräkna antalet kritiska punkter för log-likelihoodfunktionen inom ett linjärt rum av symmetriska matriser. Artikeln bidrar med nya formler för Gaussisk maximal sannolikhetsgrad, hämtade från linjegeometri och Segre-klasser i snittteori. Vi tar även upp modeller med codimension ett och scenarier med noll kritiska punkter.

I Artikel B fördjupar vi undersökningen från Artikel A genom att utforska gaussisk likelihood-geometri hos godtyckliga projektiva varieteter. Vi introducerar även maximum likelihoodgraden för ett homogent polynom över en projektiv varietet och går djupare in på att kvantifiera de kritiska punkterna för en rationell funktion. Det hittas olika tillvägagångssätt för att beräkna maximum likelihoodgraden via geometriska karakteriseringarna såsom Euler karakteristik, duala varieteter och Chern-klasser.

Artikel C främjar undersökningen av multivariata gaussiska statistiska modeller med rationella maximum-likelihood-estimator (MLE). En korrespondens etableras mellan dessa modeller och lösningar till en icke-linjär partiell differentialekvation av första ordningen (PDE). Denna koppling belyser klassificeringen av gaussiska modeller med rationell MLE och relaterar den till det öppna problemet inom birationell geometri som omfattar klassificeringen av homaloida polynom.

Artikel D beräknar den generiska maximum likelihoodgraden för en varietet, som en analog till den kända formeln med polära klasser för den euklidiska avståndsgraden. Dessutom klassificeras alla projektiva kurvor av maximum likelihoodgrad 1, som öppnar upp för frågan om de går att realisera som reella statistiska modeller.

Artikel E korsar algebraisk geometri och datorseende, med fokus på projicerade linjer från flera pinhole-kameror. Linjernas multivisa varietet fångar dessa projektioner som en algebraisk varietet. Huvudresultatet fastställer idealet för denna varietet, genererat av 3x3-minorer av en matris som härleds från ekvationerna för de projicerade linjerna. Föregångaren till linje-multivisa varieteten är den punkt-multivisa varieteten, där korrigering av bilder var en drivande motivation för att introducera den Euklidiska avståndsgraden. Märkbart, så kopplar Artikel F den nya multivisa varieteten till begreppet av Euklidisk avståndsgrad och öppnar dörren för att studera linjemultivisa varieteten inom kontexten för 3D rekonstruktion.

I Papper F fördjupade vi oss i begreppet Euklidiska avståndsuppskattningar inom ramen för en specifik delmängd av tillgängliga data. För att konstruera en robust grundteori introducerar detta papper begreppen 'relativ dualitet' och 'relativa karakteristiska klasser.' Det visar att klassiska formler kan uttryckas ekvivalent i en relativ formulering och därmed belysa de geometriska komplexiteter som är inneboende i relativ analys.

urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-339744