Riemann-Hilbert methods in general relativity and random matrix theory

Abstract

Denna avhandling behandlar problem inom allmän relativitets- och slumpmatristeori som kan lösas med hjälp av Riemann–Hilberttekniker. Avhandlingens första del är ägnad åt att lösa randvärdesproblem kopplad till kolliderande plana gravitationsvågor inom allmän relativitetsteori. Då de relevanta partiella differentialekvationerna är integrabla, kan randvärdesproblemen kopplas till Riemann–Hilbertproblem med hjälp av den så kallade inversa spridningstransformationen. Avhandlingens andra del handlar om storgapsasymptotik för vissa determinantiska punktprocesser. De undersökta storgapssannolikheterna kan kopplas till Riemann–Hilbert problem med hjälp av proceduren av Its, Izergin, Korepin och Slavnov (IIKS). Därmed kan de asymptotiska utvecklingarna studeras genom att använda den så kallade metoden av det ickelinjära brantaste avtagandet. Avhandlingen består av fem artiklar såväl som ett bakgrundskapitel och ett kapitel som sammanfattar avhandlingens resultat. I Artikel A studeras ett Goursatproblem för Euler–Darbouxekvationen. Detta randvärdesproblem beskriver kollisionen av två plana gravitationsvågor med kolinjär polarisering. I artikeln används klassiska analytiska tekniker för att beräkna en asymptotisk utveckling av godtycklig ordning av lösningen till Goursatproblemet nära den kritiska singulära linjen. Det är bekant att krökningssingulariteter kan uppstå vid denna linje. Vi använder inga Riemann–Hilberttekniker i Artikel A men den kan ses i rad med Artiklarna B och C. I Artikel B studeras Goursatproblemet för Ernstekvationen vilket beskriver kollisionen av två plana gravitationsvågor som inte nödvändigtvis har kolinjär polarisering. Artikelns huvudresultat är en ny representationsformel för den allmänna lösningen av Goursatproblemet i form av ett 2 × 2 Riemann–Hilbertproblem. Dessutom besvaras vissa unikhets- och existensfrågor och lösningens beteende nära randen beräknas. Det senare är viktigt i sammanhang med kolliderande gravitationsvågor. I Artikel C utvidgas resultaten i Artikel B till situationen av kolliderande plana elektromagnetiska vågor i Einstein–Maxwell-teorin. Det härleds en representation av lösningen med hjälp av ett 3×3 Riemann– Hilbertproblem och resultaten i Artikel B angående existens, unikhet och randbeteende utvidgas. I Artikel D studeras storgapssannolikheter i hårdkantsgränsvärdet av Muttalib–Borodin-ensembler med Laguerrevikt. Dessa ensembler träder bland annat fram som egenvärdesfördelningar för vissa slumpmatrismodeller. I artikeln används IIKS-proceduren och metoden av vi ickelinjära brantaste avtagandet för att beräkna nya konstanter i storgapsasymptotiken vid den hårda kanten och särskilt den multiplikativa konstanta termen. Resultaten i artikeln bygger på relativt nya resultat av Claeys, Girotti och Stivigny. I Artikel E beräknas den multiplikativa konstanten i storgapsasymptotiken för Meijer-G-punktprocessen med hjälp av tekniker som liknar dem i Artikel D. Meijer-G-punktprocessen träder till exempel fram i hårdkantsgränsvärden av vissa produkter av slumpmatriser.

urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-285783