Numerical methods for Sylvester-type matrix equations and nonlinear eigenvalue problems

Abstract

Linjära matrisekvationer är en vanligt förekommande variant av linjära ekvationssystem. Viktiga specialfall är Lyapunovekvationen och Sylvesterekvationen, samt deras respektive generaliseringar. Dessa ekvationer uppstår till exempel som karakteriseringar av Gramianer till linjära och bilinjära dynamiska system, i beräkningar som innebär blocktriangularisering av matriser, och vid diskretiseringar av vissa partiella differentialekvationer. Det icke-linjära egenvärdesproblemet, från engelskan förkortat NEP, är en generalisering av det linjära egenvärdesproblemet för en matris. I det icke-linjära fallet tillåts matrisens beroende på den skalära parametern att vara just icke-linjärt. Formellt betraktas problemet som en funktion vars definitionsmängd är en delmängd av de komplexa talen, och vars värdemängd är (en delmängd av de) komplexvärda matriserna. Problemet kan beskrivas som att hitta värden, så kallade egenvärden, som gör att den tillhörande matrisen i värdemängden är singulär; en vektor i nollrummet kallas för en egenvektor. Notera att beroendet på egenvektorn är linjärt. Tillämpningar inkluderar bland annat studier av dynamiska system med tidsfördröjning, samt vid transformationer av linjära egenvärdesproblem. En annan generalisering av egenvärdesproblemet är två-parameters egenvärdesproblemet vilket består av två matrisvärda funktioner som båda beror på två parametrar. Målet är att hitta par av parametrar så att båda matriserna är singulära.

Denna avhandling är en sammanläggningsavhandling och består i huvudsak av 4 artiklar. Dessa artiklar berör både praktiska och teoretiska aspekter av de ovan nämnda beräkningsproblemen. I artikel A betraktas ett NEP som härstammar från en partiell differentialekvation, vilken beskriver vågutbredning i en vågledare. På det diskretiserade problemet tillämpas residual inversiteration (residual inverse iteration). Metoden kräver att man löser likartade linjära ekvationssystem många gånger, med olika högerled. När diskretiseringen blir noggrannare blir beräkningen av lösningen till det linjära ekvationssystemen en flaskhals. För att komma runt detta presenteras en Sylvester-baserad förkonditionerare som utnyttjar Sherman–Morrison–Woodburys formel för invertering av matriser med lågrangstermer.

Artikel B behandlar den generaliserade Sylvesterekvationen och har två huvudresultat: Ett resultat är en karakterisering som under vissa antaganden motiverar existensen av lösningar som kan approximeras med matriser med låg rang. Resultatet är viktigt då många metoder för storskaliga problem har som mål att hitta en approximation av låg rang. Ett annat resultat är en Krylovmetod som kan användas när matriskoefficienterna lågrangskommuterar, d.v.s. när kommutatorn är en matris av låg rang.

I artikel C undersöker vi den generaliserade Lyapunovekvationen. ALS-metoden, från engelskan alternating linear scheme, är en girig algoritm som presenterats i literaturen, och som iterativt utökar approximationen med en matris av rang 1. Denna utökning definieras utifrån att den är ett lokalt minimum av felet, när det senare mäts i en relaterad energinorm. Vi presenterar en utvidgning av den teoretiska motiveringen till användandet av ALS-metoden, från den stabila Lyapunovekvationen till den stabila generaliserade Lyapunovekvationen. Vi visar också på kopplingar till H2-optimal modellreduktion för bilinjära dynamiska system, och hur rang-1-uppdateringarna i ALS-metoden kan ses som lokalt H2-optimala till relaterade modellreduktionsproblem. Vi presenterar även varianter av den rationella Krylovmetoden som är anpassade till den generaliserade Lyapunovekvationen.

Den fjärde artikeln, artikel D, presenterar en koppling mellan två-parameters egenvärdesproblemet och NEP. Genom att använda den ena ekvationen för att genomföra en variabeleliminering kan den andra skrivas som en familj av NEP:ar. Elimineringen sker på bekostnad av att ett generaliserat egenvärdesproblem behöver lösas för varje funktionsevaluering av NEP:en. Metoder för NEP kan på så sätt anpassas för att lösa två-parameters egenvärdesproblemet. Icke-linjärisering kan även tillämpas i omvänd riktning och kan på så sätt leda till linjäriseringar av vissa NEP:ar.

urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-292010