High order trapezoidal rule-based quadratures for boundary integral methods on non-parametrized surfaces

Abstract

Denna avhandling behandlar beräkningsmetoder för att lösa randintegralekvationer (RIE) på ytor som inte är definierade med en explicit parameterisering. Metoderna betecknas implicita randintegralmetoder (IRIM). Att använda en implicit beskrivning av ytor, som i level-set-metoden, kan vara fördelaktigt när ytans geometri är komplicerad och när ytan inte är konstant i tiden.

I IRIM används avståndsfunktionen (med tecken) till ytan för att skriva om ytintegralerna i RIE till volymsintegraler över ett område som omsluter ytan. De singulära integranderna i ytintegralen blir då integrander i volymsintegralen som är singulära längs en linje, vilket gör det till en svår utmaning att noggrant approximera integralerna numeriskt. Speciella kvadratur-metoder har tidigare utvecklats för RIE men bara för punkt-singulariteter i R², inte för linje-singulariteter i R³.

I denna avhandling utvecklar vi ett ramverk baserat på trapetsregeln för att integrera funktioner i tre dimensioner som är singulära längs en linje. Vi approximerar först den tre-dimensionella integralen med en summa av två-dimensionella integraler där integranden är singulär i en punkt, som i allmänhet inte sammanfaller med en grid-punkt. Vi tar sedan fram en korrigerad trapetsregel för dessa singulära integrander i två dimensioner. Vi generaliserar även den korrigerade trapetsregeln till integraler i Rⁿ och godtyckligt hög noggrannhetsordning, för en stor klass av integrander med punkt-singulariteter, där singulariteten inte behöver sammanfalla med grid-punkterna. Vi visar sedan hur man kan approximera och uttrycka de singulära integranderna i IRIM så att de korrigerade trapetsreglerna kan användas för att approximera volymsintegralerna. Uttrycken beror starkt på ytans form och högre ordnings approximationer av ytan ger noggrannare approximation av integranderna och integralerna.

Vi använder slutligen de nya kvadraturmetoderna för att beräkna den elektrostatiska potentialen runt makromolekyler i en vattenlösning. I denna tillämpning utgörs ytan av gränssnittet mellan molekylen och lösningen där deras respektive atomer interagerar. Potentialen satsifierar den linjäriserade Poisson-Boltzmann-ekvationen, men kan också skrivas som lösningen till ett system av kopplade RIE.

Målet med dessa metoder och angreppssätt är att lyfta fram IRIM som ett användbart och robust alternativ till standardmetoder för RIE i beräkningskrävande tillämpningar.

urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-319780