Analysis and numerical methods for multiscale problems in magnetization dynamics

Abstract

I denna avhandling undersöks en multiskal-version av Landau-Lifshitz-ekvationen och hur detta problem kan lösas med hjälp av så kallade heterogena multiskalmetoder (HMM). Landau-Lifshitz-ekvationen är huvudekvationen inom mikromagnetism och modellerar magnetismens dynamik i en ferromagnet. I problemet som behandlas i avhandlingen finns två viktiga skalor: en mikroskala där variationer i det magnetiska  materialet representeras och en makroskala för hela magneten. Eftersom variationerna på mikroskalan är mycket små jämfört med makroskalan blir beräkningskostnaden väldigt stor i en direkt  simulering där de små variationerna löses upp. Ett alternativ till  en sådan direkt simulering är att använda HMM. Idén bakom denna  metod är att man använder en så kallad makromodell som saknar vissa  parametervärden. Den kan diskretiseras med ett grovt beräkningsnät. De okända värdena i makromodellen approximeras i en så kallad upskalningsprocedur, där medelvärden bildas baserad på lösningen till ett mikroproblem. För varje diskretiseringspunkt i makroproblemet löses ett sådant mikroproblem noggrannt i tid och rum. Med denna metod får man en  beräkningskostnad som inte beror på hur liten den fina skalan, ε, är.

Rapporterna som är en del av denna avhandling fokuserar på olika komponenter som behövs för att lösa och analysera problemet. De fel som uppstår när man använder HMM undersöks och implementeringsfrågor utreds.

Artikel I handlar om homogenisering av det periodiska Landau-Lifshitz-problemet med en snabbt oscillerande materialkoefficient. Vi härleder ekvationer för den homogeniserade  lösningen och de tillhörande korrektorerna samt analyserar felen som uppstår. Vi tar hänsyn till två olika fel, skillnaden mellan lösningen till originalproblemet och det homogeniserade problemet samt till korrigerade approximationer. För sluttider T ∈ O(ε^σ), där 0 <  σ ≤ 2, visar vi konvergenshastigheter med avseende på  ε  i H^q Sobolevnormer. Värdena som kan väljas för q inskränks bara av lösningarnas regularitet.

I artikel II presenteras tre olika upplägg för HMM makroproblemet som kallas för flödesmodell, fältmodell och vridesmomentsmodell. Skillnaden mellan modellerna är att olika parametervärden saknas och därför behöver approximeras. För periodiska problem analyseras felen som uppstår på grund av approximationen. För alla tre modeller kan liknande gränser för uppskalningsfelen visas. Om man väljer alla parametrar optimalt får man ett fel som är O(ε) .

Artikel III beskriver en implementation av fältmodellen som är baserad på finita differensmetoden. Den behandlar olika viktiga aspekter så  som tidsstegningsmetod, mikroproblemets storlek och vilka randvärden som kan väljas för mikroproblemet. Dessutom undersöks påverkan av olika parametrar som ingår i uppskalningen. Utöver det diskuteras idén att använda artificiell dämpning i mikroproblemet  för att få en mer effektiv implementation.

I artikel IV behandlas en version av Landau-Lifshitz ekvationen med en oscillerande materialkoefficient som är närmare den fysikaliska modellen. Vi använder finita elementmetoden för makromodellen och kombinerar den med en mikromodell som diskretiseras med finita differenser. Grunden för detta  tillvägagångsätt utgörs av en variation av flödesmodellen som  introducerades i artikel II.  Dessutom tar vi i artikel IV hänsyn till Neumann-randvillkor och tar med flera komponenter i den så kallade effektiva fälten, inte bara den termen som beskriver  interaktionen mellan magnetiska moment som används i artikel I-III. Numeriska experiment visar att den föreslagna metoden ger  rimliga resultat.

Dessutom granskas och jämnförs flera geometriska tidsstegningsmetoder för Landau-Lifshitz-ekvationen i en teknisk  rapport. Deras egenskaper undersöks med hjälp av numeriska  exempel.

urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-304816